594. Найдите шестой и п-й члены геометрической прогрессии: a) 48; 12; ...; 6) \frac{64}{9}; -\frac{32}{3}; ...; в) -0,001; -0,01; ... ; г) -100; 10; ...

a) Дано: геометрическая прогрессия $$b_1 = 48$$, $$b_2 = 12$$.

Найти: $$b_6$$, $$b_n$$.

Решение:

1. Найдём знаменатель геометрической прогрессии: $$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{12}{48} = \frac{1}{4}$$.
2. Найдём шестой член геометрической прогрессии: $$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^5 = 48 \cdot (\frac{1}{4})^5 = 48 \cdot \frac{1}{1024} = \frac{48}{1024} = \frac{3}{64}$$.
3. Найдём n-й член геометрической прогрессии: $$b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = 48 \cdot (\frac{1}{4})^{n-1}$$.

Ответ: $$b_6 = \frac{3}{64}$$, $$b_n = 48 \cdot (\frac{1}{4})^{n-1}$$.

---

б) Дано: геометрическая прогрессия $$b_1 = \frac{64}{9}$$, $$b_2 = -\frac{32}{3}$$.

Найти: $$b_6$$, $$b_n$$.

Решение:

1. Найдём знаменатель геометрической прогрессии: $$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-\frac{32}{3}}{\frac{64}{9}} = -\frac{32}{3} \cdot \frac{9}{64} = -\frac{3}{2}$$.
2. Найдём шестой член геометрической прогрессии: $$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^5 = \frac{64}{9} \cdot (-\frac{3}{2})^5 = \frac{64}{9} \cdot (-\frac{243}{32}) = -\frac{64 \cdot 243}{9 \cdot 32} = -\frac{2 \cdot 27}{1 \cdot 1} = -54$$.
3. Найдём n-й член геометрической прогрессии: $$b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = \frac{64}{9} \cdot (-\frac{3}{2})^{n-1}$$.

Ответ: $$b_6 = -54$$, $$b_n = \frac{64}{9} \cdot (-\frac{3}{2})^{n-1}$$.

---

в) Дано: геометрическая прогрессия $$b_1 = -0.001$$, $$b_2 = -0.01$$.

Найти: $$b_6$$, $$b_n$$.

Решение:

1. Найдём знаменатель геометрической прогрессии: $$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-0.01}{-0.001} = 10$$.
2. Найдём шестой член геометрической прогрессии: $$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^5 = -0.001 \cdot (10)^5 = -0.001 \cdot 100000 = -100$$.
3. Найдём n-й член геометрической прогрессии: $$b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = -0.001 \cdot (10)^{n-1}$$.

Ответ: $$b_6 = -100$$, $$b_n = -0.001 \cdot (10)^{n-1}$$.

---

г) Дано: геометрическая прогрессия $$b_1 = -100$$, $$b_2 = 10$$.

Найти: $$b_6$$, $$b_n$$.

Решение:

1. Найдём знаменатель геометрической прогрессии: $$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{10}{-100} = -\frac{1}{10} = -0.1$$.
2. Найдём шестой член геометрической прогрессии: $$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^5 = -100 \cdot (-0.1)^5 = -100 \cdot (-0.00001) = 0.001$$.
3. Найдём n-й член геометрической прогрессии: $$b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = -100 \cdot (-0.1)^{n-1}$$.

Ответ: $$b_6 = 0.001$$, $$b_n = -100 \cdot (-0.1)^{n-1}$$.