599. Последовательность (bn) — геометрическая прогрессия. Найдите: a) b6, если b₁ = 125, b₃ = 5; б) b7, если b₁ = -\frac{2}{9}, b₃ = -2; в) b₁, если b4 = −1, b6 = −100.

а) Дано: геометрическая прогрессия $$b_1 = 125$$, $$b_3 = 5$$.

Найти: $$b_6$$.

Решение:

1. Выразим $$b_3$$ через $$b_1$$ и $$q$$: $$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$$.
2. Выразим $$q^2$$: $$q^2 = \frac{b_3}{b_1} = \frac{5}{125} = \frac{1}{25}$$.
3. Выразим $$q$$: $$q = \pm \sqrt{\frac{1}{25}} = \pm \frac{1}{5}$$.
4. Выразим $$b_6$$ через $$b_1$$ и $$q$$: $$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^5$$.
5. Найдём $$b_6$$ при $$q = \frac{1}{5}$$: $$b_6 = 125 \cdot (\frac{1}{5})^5 = 125 \cdot \frac{1}{3125} = \frac{1}{25} = 0.04$$.
6. Найдём $$b_6$$ при $$q = -\frac{1}{5}$$: $$b_6 = 125 \cdot (-\frac{1}{5})^5 = 125 \cdot (-\frac{1}{3125}) = -\frac{1}{25} = -0.04$$.

Ответ: $$b_6 = \pm 0.04$$.

б) Дано: геометрическая прогрессия $$b_1 = -\frac{2}{9}$$, $$b_3 = -2$$.

Найти: $$b_7$$.

Решение:

1. Выразим $$b_3$$ через $$b_1$$ и $$q$$: $$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$$.
2. Выразим $$q^2$$: $$q^2 = \frac{b_3}{b_1} = \frac{-2}{-\frac{2}{9}} = -2 \cdot -\frac{9}{2} = 9$$.
3. Выразим $$q$$: $$q = \pm \sqrt{9} = \pm 3$$.
4. Выразим $$b_7$$ через $$b_1$$ и $$q$$: $$b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} = b_1 \cdot q^6$$.
5. Найдём $$b_7$$ при $$q = 3$$: $$b_7 = -\frac{2}{9} \cdot (3)^6 = -\frac{2}{9} \cdot 729 = -\frac{2 \cdot 81}{1} = -162$$.
6. Найдём $$b_7$$ при $$q = -3$$: $$b_7 = -\frac{2}{9} \cdot (-3)^6 = -\frac{2}{9} \cdot 729 = -\frac{2 \cdot 81}{1} = -162$$.

Ответ: $$b_7 = -162$$.

в) Дано: геометрическая прогрессия $$b_4 = -1$$, $$b_6 = -100$$.

Найти: $$b_1$$.

Решение:

1. Выразим $$b_6$$ через $$b_4$$ и $$q$$: $$b_6 = b_4 \cdot q^{6-4} = b_4 \cdot q^2$$.
2. Выразим $$q^2$$: $$q^2 = \frac{b_6}{b_4} = \frac{-100}{-1} = 100$$.
3. Выразим $$q$$: $$q = \pm \sqrt{100} = \pm 10$$.
4. Выразим $$b_4$$ через $$b_1$$ и $$q$$: $$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$$.
5. Выразим $$b_1$$: $$b_1 = \frac{b_4}{q^3}$$.
6. Найдём $$b_1$$ при $$q = 10$$: $$b_1 = \frac{-1}{(10)^3} = \frac{-1}{1000} = -0.001$$.
7. Найдём $$b_1$$ при $$q = -10$$: $$b_1 = \frac{-1}{(-10)^3} = \frac{-1}{-1000} = \frac{1}{1000} = 0.001$$.

Ответ: $$b_1 = \pm 0.001$$.