68. Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 20. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.

Пусть катеты равны $$a = 15$$ и $$b = 20$$. Площадь прямоугольного треугольника равна $$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150$$. Гипотенузу $$c$$ найдем по теореме Пифагора: $$c^2 = a^2 + b^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$$. Следовательно, $$c = \sqrt{625} = 25$$. Высота $$h$$, проведенная к гипотенузе, может быть найдена через площадь: $$S = \frac{1}{2}ch$$, откуда $$h = \frac{2S}{c} = \frac{2 \cdot 150}{25} = \frac{300}{25} = 12$$. Ответ: 12