144 На рисунке 82 AB=CD, AD = BC, BE — биссектриса угла ABC, a DF - биссектриса угла ADC. Докажите, что: a) ∠ABE = ∠ADF; б) ДАВЕ = ACDF.

Рассмотрим треугольники ΔАВC и ΔCDА:

1) АВ = СD (по условию).

2) АD = ВС (по условию).

3) АС – общая сторона.

Значит, ΔАВC = ΔCDА по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Следовательно, ∠В = ∠D как соответственные элементы равных треугольников.

Так как ВЕ и DF – биссектрисы, то ∠ABE = 1/2 ∠В, ∠ADF = 1/2 ∠D.

Значит, ∠ABE = ∠ADF.

Рассмотрим треугольники ΔАВE и ΔCDF:

1) АВ = СD (по условию).

2) ∠BAE = ∠DCF (так как ΔАВC = ΔCDА).

3) ∠ABE = ∠ADF (доказано выше).

Значит, ΔАВE = ΔCDF по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Ответ: a) ∠ABE = ∠ADF; б) ΔАВE = ΔCDF.