136 В треугольниках DEF и MNP EF=NP. DF = МР и F = ZP Биссектрисы углов Е и D пересекаются в точке О, а биссектри- сы углов Ми — в точке К. Докажите, что ∠DOE=ZMKN

Рассмотрим треугольники DEF и MNP:

1) EF = NP (по условию).

2) DF = MP (по условию).

3) ∠F = ∠P (по условию).

Значит, ΔDEF = ΔMNP по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Следовательно, ∠D = ∠M, ∠E = ∠N как соответственные элементы равных треугольников.

Так как DO и MK — биссектрисы, то ∠EDO = 1/2 ∠D, ∠NMK = 1/2 ∠M.

Значит, ∠EDO = ∠NMK.

Так как EO и NK — биссектрисы, то ∠DEO = 1/2 ∠E, ∠MNK = 1/2 ∠N.

Значит, ∠DEO = ∠MNK.

Рассмотрим треугольники ΔDOE и ΔMKN:

1) ∠EDO = ∠NMK (доказано выше).

2) ∠DEO = ∠MNK (доказано выше).

3) DE = MN (так как ΔDEF = ΔMNP).

Значит, ΔDOE = ΔMKN по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Следовательно, ∠DOE = ∠MKN как соответственные элементы равных треугольников.

Ответ: ∠DOE = ∠MKN.