145 В треугольниках АВС и А,В,С, медианы ВМ и ВМ, равны, AB = A₁B1, AC = A₁С₁. Докажите, что ДАВС = ∆АВС

Пусть даны треугольники АВС и А₁В₁С₁, в которых ВМ и В₁М₁ – медианы, ВМ = В₁М₁, АВ = А₁В₁ и АС = А₁С₁.

Рассмотрим треугольники ΔАВМ и ΔА₁В₁М₁:

1) АВ = А₁В₁ (по условию).

2) ВМ = В₁М₁ (по условию).

3) Так как ВМ и В₁М₁ – медианы, то АМ = 1/2 АС, А₁М₁ = 1/2 А₁С₁.

Так как АС = А₁С₁, то АМ = А₁М₁.

Значит, ΔАВМ = ΔА₁В₁М₁ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Следовательно, ∠А = ∠А₁ как соответственные элементы равных треугольников.

Рассмотрим треугольники ΔАВС и ΔА₁В₁С₁:

1) АВ = А₁В₁ (по условию).

2) АС = А₁С₁ (по условию).

3) ∠А = ∠А₁ (доказано выше).

Значит, ΔАВС = ΔА₁В₁С₁ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Ответ: ΔАВС = ΔА₁В₁С₁.