139 На рисунке 76 AB=CD, AD = BC, ВЕ — биссектриса угла ABC, a DF - биссектриса угла ADC. Докажите, что: a) ∠ABE = ∠ADF; 6) ΔΑΒΕ = ACDF.

а) Рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором AB = CD и AD = BC.

Проведем диагональ BD. Рассмотрим треугольники △ABD и △CDB:

1. AB = CD (дано)
2. AD = BC (дано)
3. BD — общая сторона

Следовательно, △ABD = △CDB по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). Из равенства треугольников следует, что ∠ABD = ∠CDB.

Так как BE — биссектриса угла ABC, то ∠ABE = 1/2 * ∠ABC. Так как DF — биссектриса угла ADC, то ∠ADF = 1/2 * ∠ADC.

Углы ∠ABC = ∠ADC как углы параллелограмма, так как ABCD - параллелограмм (по признаку равенства противоположных сторон). Следовательно, ∠ABE = ∠ADF.

б) Рассмотрим треугольники △ABE и △CDF:

1. AB = CD (дано)
2. ∠ABE = ∠ADF (доказано выше)
3. BE = DF (так как △ABD = △CDB и BE и DF - биссектрисы соответствующих углов)

Следовательно, △ABE = △CDF по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Ответ: а) ∠ABE = ∠ADF; б) △ABE = △CDF доказано.