140 В треугольниках АВС и А,В,С, медианы ВМ и В₁М₁ равны, AB = A₁B₁, AC = А1С1. Докажите, что ДАВС = ∆АВС

Рассмотрим треугольники △ABC и △A₁B₁C₁:

1. AB = A₁B₁ (дано)
2. AC = A₁C₁ (дано)
3. BM = B₁M₁ (дано)

Продолжим медиану BM на отрезок MD = BM, а медиану B₁M₁ на отрезок M₁D₁ = B₁M₁. Тогда AD = 2 * BM и A₁D₁ = 2 * B₁M₁. Соединим точки C и D, A и D, A₁ и D₁, C₁ и D₁.

Рассмотрим четырехугольник ABCD. AM = MC, BM = MD, следовательно, ABCD - параллелограмм, значит, CD = AB. Аналогично, A₁B₁C₁D₁ - параллелограмм, значит, C₁D₁ = A₁B₁.

Тогда △ACD = △A₁C₁D₁ по третьему признаку (AC = A₁C₁, CD = C₁D₁, AD = A₁D₁ = 2 * BM = 2 * B₁M₁). Следовательно, ∠A = ∠A₁. Так как AB = A₁B₁ и AC = A₁C₁, то △ABC = △A₁B₁C₁ по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними).

Ответ: △ABC = △A₁B₁C₁ доказано.