16. На рисунке СE = 8, CD = 10, AB = 20, AB параллельна CD. Найдите ВЕ.

Так как AB || CD, то треугольники CDE и ABE подобны по двум углам (∠CED = ∠AEB как вертикальные, ∠DCE = ∠BAE как накрест лежащие при параллельных прямых CD и AB и секущей AC). Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

$$ \frac{CE}{AE} = \frac{DE}{BE} = \frac{CD}{AB} $$

Нам дано CE = 8, CD = 10, AB = 20. Выразим AE через CD:

$$ \frac{CE}{AE} = \frac{CD}{AB} $$ $$ AE = \frac{CE \cdot AB}{CD} = \frac{8 \cdot 20}{10} = 16 $$

По условию AE = AB - BE, тогда

$$BE = AE - AB$$

Тогда по свойству пропорции:

$$ \frac{CE}{AE} = \frac{BE}{DE} $$ $$ BE = AE - AB $$

Тогда по свойству пропорции:

$$ \frac{DE}{BE} = \frac{CD}{AB} $$

И

$$BE = \frac{DE \cdot AB}{CD}$$ $$AE = BE + AB$$

Из пропорции:

$$ \frac{CE}{AE} = \frac{CD}{AB} $$

И CE = 8, CD = 10, AB = 20, AE = BE + AB, тогда

$$ \frac{8}{BE + AB} = \frac{10}{20} $$ $$ BE + AB = \frac{8 \cdot 20}{10} $$ $$ BE + AB = 16 $$ $$ BE = 16 - 20 $$ $$ BE = 4 $$

Ответ: 4