На сторонах прямоугольного треугольника как на диаме- трах построены три полукруга. Докажите, что площадь по- лукруга, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей полукругов, построенных на катетах.

1. Пусть \( a \) и \( b \) - катеты, \( c \) - гипотенуза прямоугольного треугольника.
2. Площадь полукруга, построенного на катете \( a \), равна \( S_a = \frac{1}{2} \pi (\frac{a}{2})^2 = \frac{\pi a^2}{8} \).
3. Площадь полукруга, построенного на катете \( b \), равна \( S_b = \frac{1}{2} \pi (\frac{b}{2})^2 = \frac{\pi b^2}{8} \).
4. Площадь полукруга, построенного на гипотенузе \( c \), равна \( S_c = \frac{1}{2} \pi (\frac{c}{2})^2 = \frac{\pi c^2}{8} \).
5. По теореме Пифагора, \( c^2 = a^2 + b^2 \).
6. Тогда \( S_c = \frac{\pi c^2}{8} = \frac{\pi (a^2 + b^2)}{8} = \frac{\pi a^2}{8} + \frac{\pi b^2}{8} = S_a + S_b \).
7. Таким образом, площадь полукруга, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей полукругов, построенных на катетах.

Проверка за 10 секунд: S(гипотенузы) = S(катета1) + S(катета2) по теореме Пифагора.

Доп. профит: Теорема Пифагора является ключевым элементом доказательства этой зависимости.