Найдите площадь круга, вписанного: а) в равносторонний тре- угольник со стороной а; б) в прямоугольный треугольник с катетом а и прилежащим к нему острым углом а; в) в рав- нобедренный треугольник с боковой стороной а и углом а, противолежащим основанию; г) в равнобедренную трапецию с большим основанием а и острым углом а.

1. а) Равносторонний треугольник со стороной \( a \).
   Показать решение

   В равностороннем треугольнике радиус вписанной окружности равен \( r = \frac{a\sqrt{3}}{6} \). Площадь круга \( S = \pi r^2 = \pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{12} \).
2. б) Прямоугольный треугольник с катетом \( a \) и прилежащим углом \( \alpha \).
   Показать решение

   Пусть \( b \) - второй катет, тогда \( b = a \cdot tg(\alpha) \). Гипотенуза \( c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{a^2 + a^2 tg^2(\alpha)} = a\sqrt{1 + tg^2(\alpha)} \). Радиус вписанной окружности \( r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{a + a \cdot tg(\alpha) - a\sqrt{1 + tg^2(\alpha)}}{2} = \frac{a(1 + tg(\alpha) - \sqrt{1 + tg^2(\alpha)})}{2} \). Площадь круга \( S = \pi r^2 = \pi \left(\frac{a(1 + tg(\alpha) - \sqrt{1 + tg^2(\alpha)})}{2}\right)^2 \).
3. в) Равнобедренный треугольник с боковой стороной \( a \) и углом \( \alpha \), противолежащим основанию.
   Показать решение

   Пусть основание равно \( b \), тогда \( \frac{b}{2} = a \cdot \cos(\frac{180^\circ - \alpha}{2}) \), отсюда \( b = 2a \cos(\frac{180^\circ - \alpha}{2}) \). Высота, проведённая к основанию, \( h = a \sin(\frac{180^\circ - \alpha}{2}) \). Площадь треугольника \( S = \frac{1}{2}bh = a^2 \cos(\frac{180^\circ - \alpha}{2}) \sin(\frac{180^\circ - \alpha}{2}) \). Радиус вписанной окружности \( r = \frac{2S}{a+a+b} = \frac{2S}{2a+b} \). Площадь круга \( S = \pi r^2 = \pi \left( \frac{2S}{2a+b} \right)^2 = \pi \left( \frac{2a^2 \cos(\frac{180^\circ - \alpha}{2}) \sin(\frac{180^\circ - \alpha}{2})}{2a + 2a \cos(\frac{180^\circ - \alpha}{2})} \right)^2 \).
4. г) Равнобедренная трапеция с большим основанием \( a \) и острым углом \( \alpha \).
   Показать решение

   В равнобедренной трапеции можно вписать окружность, если сумма оснований равна сумме боковых сторон. Пусть \( b \) - меньшее основание, \( c \) - боковая сторона. Тогда \( a + b = 2c \). Высота трапеции \( h = c \sin(\alpha) \). Меньшее основание \( b = a - 2c \cos(\alpha) \). Отсюда \( a + a - 2c \cos(\alpha) = 2c \), тогда \( 2a = 2c(1 + \cos(\alpha)) \), откуда \( c = \frac{a}{1 + \cos(\alpha)} \). Высота трапеции \( h = c \sin(\alpha) = \frac{a \sin(\alpha)}{1 + \cos(\alpha)} \). Радиус вписанной окружности равен половине высоты, то есть \( r = \frac{h}{2} = \frac{a \sin(\alpha)}{2(1 + \cos(\alpha))} \). Площадь круга \( S = \pi r^2 = \pi \left(\frac{a \sin(\alpha)}{2(1 + \cos(\alpha))}\right)^2 \).

Проверка за 10 секунд: Найдите радиус вписанной окружности, используя известные параметры фигуры, затем вычислите площадь круга.

Доп. профит: Помните, что радиус вписанной окружности может быть выражен через площадь и полупериметр фигуры.