4) На сторонах угла ВАС и на его биссектрисе отложены равные отрезки АВ, АС и AD. Величина угла BDC равна 160°. Определите величину угла ВАС.

Пусть дан угол BAC, AB = AC = AD. Угол BDC = 160°. AD - биссектриса угла BAC. Нужно найти угол BAC.

Так как AB = AD, то треугольник ABD - равнобедренный, и углы ABD и ADB равны. Пусть угол BAD = x. Тогда угол BAC = 2x (так как AD - биссектриса). Так как AB = AC, то AC = AD, следовательно, треугольник ADC - равнобедренный, и углы ACD и ADC равны.

В треугольнике ABD: угол ABD = угол ADB = (180 - x) / 2 = 90 - x/2.

Угол ADC = 180° - угол BDC = 180° - 160° = 20°.

В треугольнике ADC: угол ACD = угол ADC = 20°. Тогда угол DAC = 180° - 20° - 20° = 140°.

Так как AD - биссектриса угла BAC, то угол BAC = 2 * угол DAC.

Угол BAD = x. Тогда угол ADB = (180 - x) / 2 = 90 - x/2. Угол BDA + угол BDC = 180°. Следовательно, (90 - x/2) + 160 = 180.

x/2 = 90 + 160 - 180 = 70.

x = 140°

Угол DAC=x=140

Следовательно угол BAC = 2 * DAC. А значит 180-20-20=DAC = 140.

Угол ADB = 180-160=20 = ABD = (180-x)/2. 40=180-x. Угол BAC=20

Если угол ADC равен 20 то угол ACD тоже равен 20 градусам, а значит угол DAC будет 140 градусам, а угол BAC равен 10 градусам.

Ответ: 20°