4) Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 18, а периметр 56. Найдите площадь трапеции.

Пусть ABCD - равнобедренная трапеция, где AD = 18 и BC = 8 - основания, а AB = CD - боковые стороны. Периметр трапеции равен 56.

Периметр трапеции: P = AD + BC + AB + CD = AD + BC + 2AB (так как AB = CD).

Подставим известные значения: 56 = 18 + 8 + 2AB.

2AB = 56 - 18 - 8 = 30.

AB = 15. Следовательно, боковая сторона трапеции равна 15.

Проведем высоты BH и CK из вершин B и C на основание AD. Тогда AH = KD = (AD - BC) / 2 = (18 - 8) / 2 = 5.

В прямоугольном треугольнике ABH гипотенуза AB = 15, а катет AH = 5. По теореме Пифагора найдем высоту BH:

$$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{15^2 - 5^2} = \sqrt{225 - 25} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$$

Площадь трапеции: $$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot BH = \frac{18 + 8}{2} \cdot 10\sqrt{2} = \frac{26}{2} \cdot 10\sqrt{2} = 13 \cdot 10\sqrt{2} = 130\sqrt{2}$$

Ответ: $$130\sqrt{2}$$