588 Найдите боковую сторону и площадь равнобедренного тре- угольника, если: а) основание равно 12 см, а высота, проведён- ная к основанию, равна 8 см; б) основание равно 18 см, а угол, противолежащий основанию, равен 120°; в) треугольник пря- моугольный и высота, проведённая к гипотенузе, равна 7 см.

a) Пусть ABC - равнобедренный треугольник, где AB = BC - боковые стороны, AC = 12 см - основание, BD = 8 см - высота, проведённая к AC. Так как треугольник равнобедренный, высота BD также является медианой, следовательно, AD = DC = AC/2 = 6 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. По теореме Пифагора:

$$AB^2 = AD^2 + BD^2$$ $$AB^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$$ $$AB = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$$

Площадь треугольника ABC равна:

$$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48 \text{ см}^2$$

б) Пусть ABC - равнобедренный треугольник, где AB = BC - боковые стороны, AC = 18 см - основание, ∠B = 120°. Высота BD делит угол B пополам, следовательно, ∠ABD = 60°. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. ∠BAD = 180° - 90° - 60° = 30°. AD = AC/2 = 9 см. Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, следовательно:

$$AD = \frac{AB}{2}$$ $$AB = 2 \cdot AD = 2 \cdot 9 = 18 \text{ см}$$

Высоту BD найдём по теореме Пифагора:

$$BD^2 = AB^2 - AD^2 = 18^2 - 9^2 = 324 - 81 = 243$$ $$BD = \sqrt{243} = 9\sqrt{3} \text{ см}$$

Площадь треугольника ABC равна:

$$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 9\sqrt{3} = 81\sqrt{3} \approx 140,3 \text{ см}^2$$

в) Прямоугольный треугольник, высота, проведённая к гипотенузе, равна 7 см. Здесь недостаточно данных, чтобы найти боковую сторону и площадь треугольника.

Ответ: а) 10 см, 48 см²; б) 18 см, $$81\sqrt{3}$$ см²; в) недостаточно данных