593 Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями АВ и CD, если: а) АВ = 10 см, BC = DA = 13 см, CD = 20 см; б) ∠C=∠D= = 60°, AB = BC = 8 см; в) ∠C = ∠D = 45°, АВ = 6 см, ВС = 9√2 см.

a) Дана трапеция ABCD, где AB = 10 см, BC = DA = 13 см, CD = 20 см. Трапеция равнобедренная, так как BC = DA. Проведём высоты BH и AK к основанию CD. Тогда HK = AB = 10 см, DH = KC = (CD - HK)/2 = (20 - 10)/2 = 5 см.

1) Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC. По теореме Пифагора:

$$BH^2 = BC^2 - HC^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$$ $$BH = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$$

2) Площадь трапеции ABCD равна:

$$S = \frac{1}{2} (AB + CD) \cdot BH = \frac{1}{2} (10 + 20) \cdot 12 = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 12 = 180 \text{ см}^2$$

б) Дана трапеция ABCD, где ∠C = ∠D = 60°, AB = BC = 8 см. Проведём высоту BH к основанию CD. Рассмотрим трапецию ABCD. ∠B + ∠C = 180° (как односторонние при параллельных прямых AB и CD и секущей BC), следовательно, ∠B = 180° - 60° = 120°.

1) Так как трапеция ABCD равнобедренная (∠C = ∠D), то ∠A = ∠B = 120°.

2) Рассмотрим треугольник BHC. ∠HBC = 90° - 60° = 30°. Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, следовательно,

$$HC = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4 \text{ см}$$

3) Высоту BH найдём по теореме Пифагора:

$$BH^2 = BC^2 - HC^2 = 8^2 - 4^2 = 64 - 16 = 48$$ $$BH = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \text{ см}$$

4) Так как трапеция равнобедренная, то DH = HC = 4 см. Следовательно, CD = AB + 2HC = 8 + 2 \cdot 4 = 16 см.

5) Площадь трапеции ABCD равна:

$$S = \frac{1}{2} (AB + CD) \cdot BH = \frac{1}{2} (8 + 16) \cdot 4\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 4\sqrt{3} = 48\sqrt{3} \approx 83,14 \text{ см}^2$$

в) Дана трапеция ABCD, где ∠C = ∠D = 45°, AB = 6 см, BC = 9√2 см. Проведём высоту BH к основанию CD. Рассмотрим трапецию ABCD.

1) Рассмотрим треугольник BHC. Так как ∠C = 45°, то треугольник BHC равнобедренный, следовательно, BH = HC.

2) По теореме Пифагора:

$$BC^2 = BH^2 + HC^2 = 2BH^2$$ $$(9\sqrt{2})^2 = 2BH^2$$ $$81 \cdot 2 = 2BH^2$$ $$BH^2 = 81$$ $$BH = 9 \text{ см}$$

3) HC = BH = 9 см.

4) Так как трапеция равнобедренная, то DH = HC = 9 см. Следовательно, CD = AB + 2HC = 6 + 2 \cdot 9 = 24 см.

5) Площадь трапеции ABCD равна:

$$S = \frac{1}{2} (AB + CD) \cdot BH = \frac{1}{2} (6 + 24) \cdot 9 = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 9 = 135 \text{ см}^2$$

Ответ: а) 180 см²; б) $$48\sqrt{3}$$ см²; в) 135 см²