597 Найдите меньшую высоту треугольника со сторонами, равны- ми: а) 24 см, 25 см, 7 см; б) 15 см, 17 см, 8 см.

a) 24 см, 25 см, 7 см. Проверим, является ли треугольник прямоугольным: $$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$$. Да, треугольник прямоугольный, с катетами 7 и 24 см и гипотенузой 25 см. Меньшая высота проведена к гипотенузе.

Площадь треугольника равна:

$$S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 24 = 84 \text{ см}^2$$

Высота h, проведённая к гипотенузе, равна:

$$h = \frac{2S}{c} = \frac{2 \cdot 84}{25} = \frac{168}{25} = 6,72 \text{ см}$$

б) 15 см, 17 см, 8 см. Проверим, является ли треугольник прямоугольным: $$8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$$. Да, треугольник прямоугольный, с катетами 8 и 15 см и гипотенузой 17 см. Меньшая высота проведена к гипотенузе.

Площадь треугольника равна:

$$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 = 60 \text{ см}^2$$

Высота h, проведённая к гипотенузе, равна:

$$h = \frac{2S}{c} = \frac{2 \cdot 60}{17} = \frac{120}{17} \approx 7,06 \text{ см}$$

Ответ: а) 6,72 см; б) $$\frac{120}{17}$$ см