598 В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а бо- ковая сторона равна 13 см. Найдите радиус окружности, впи- санной в этот треугольник.

Пусть ABC - равнобедренный треугольник, где AB = AC = 13 см - боковые стороны, BC = 10 см - основание. Проведём высоту AD к основанию BC. Так как треугольник равнобедренный, высота AD также является медианой, следовательно, BD = DC = BC/2 = 5 см.

1) Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. По теореме Пифагора:

$$AD^2 = AB^2 - BD^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$$ $$AD = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$$

2) Площадь треугольника ABC равна:

$$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60 \text{ см}^2$$

3) Полупериметр треугольника ABC равен:

$$p = \frac{1}{2} (AB + BC + AC) = \frac{1}{2} (13 + 10 + 13) = \frac{1}{2} \cdot 36 = 18 \text{ см}$$

4) Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен:

$$r = \frac{S}{p} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3,33 \text{ см}$$

Ответ: $$\frac{10}{3}$$ см