594 Основание D высоты CD треугольника АВС лежит на стороне АВ, причём AD = BC. Найдите АС, если АВ = 3, a CD = √3.

Пусть дан треугольник ABC, CD - высота, AD = BC, AB = 3, CD = √3. Обозначим AD = BC = x. Тогда DB = AB - AD = 3 - x.

1) Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. По теореме Пифагора:

$$AC^2 = AD^2 + CD^2 = x^2 + (\sqrt{3})^2 = x^2 + 3$$

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник BDC. По теореме Пифагора:

$$BC^2 = BD^2 + CD^2$$ $$x^2 = (3 - x)^2 + (\sqrt{3})^2$$ $$x^2 = 9 - 6x + x^2 + 3$$ $$6x = 12$$ $$x = 2$$

3) Тогда AC^2 = x^2 + 3 = 2^2 + 3 = 4 + 3 = 7

$$AC = \sqrt{7}$$

Ответ: $$\sqrt{7}$$