4) Найдите: cos α, tg α, ctg α, если sin α = 1/3.

Дано: ( sin \alpha = \frac{1}{3} ). Нужно найти ( cos \alpha ), ( \tan \alpha ) и ( \cot \alpha ). 1. Найдем ( cos \alpha ) с использованием основного тригонометрического тождества: ( sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1 ). ( cos^2 \alpha = 1 - sin^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} ). ( cos \alpha = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3} ) (поскольку не указано, в какой четверти находится угол, берем положительное значение). 2. Найдем ( \tan \alpha ) как отношение синуса к косинусу: ( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} ). ( \tan \alpha = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} ) (избавились от иррациональности в знаменателе). 3. Найдем ( \cot \alpha ) как обратную величину тангенса: ( \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} ). ( \cot \alpha = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} ). **Ответ:** * ( cos \alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3} ) * ( \tan \alpha = \frac{\sqrt{2}}{4} ) * ( \cot \alpha = 2\sqrt{2} )