8) Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 120°, а высота, проведённая к основанию 3√3 см. Найдите стороны треугольника.

Пусть ABC – равнобедренный треугольник, где ( \angle B = 120° ), и высота, проведённая к основанию AC, равна ( BH = 3\sqrt{3} ) см. Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны: ( \angle A = \angle C = \frac{180° - 120°}{2} = 30° ). Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нём ( \angle BAH = 30° ), ( BH = 3\sqrt{3} ) см. Используем тангенс угла A: ( \tan A = \frac{BH}{AH} ). ( \tan 30° = \frac{3\sqrt{3}}{AH} ). ( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{AH} ). ( AH = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot 3 = 9 ) см. Тогда основание ( AC = 2 \cdot AH = 2 \cdot 9 = 18 ) см. Теперь найдем боковую сторону AB, используя синус угла A: ( sin A = \frac{BH}{AB} ). ( sin 30° = \frac{3\sqrt{3}}{AB} ). ( \frac{1}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{AB} ). ( AB = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3} ) см. Так как треугольник равнобедренный, ( AB = BC = 6\sqrt{3} ) см. **Ответ:** Боковые стороны равны ( 6\sqrt{3} ) см, основание равно 18 см.