Найдите расстояние между вершинами D и B₁ многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Решение:

Многогранник является прямоугольным параллелепипедом, так как все двугранные углы прямые, что означает, что все грани являются прямоугольниками. Нам нужно найти расстояние между вершинами \( D \) и \( B_1 \). Это длина диагонали \( DB_1 \).

Из рисунка (или условий задачи, если бы они были указаны явно) определим длины ребер, исходящих из одной вершины, например, из вершины \( D \).

Пусть ребра, исходящие из \( D \), имеют длины:

• \( DA = 3 \) (длина вдоль оси X, если принять D за начало координат)
• \( DC = 4 \) (длина вдоль оси Y)
• \( DD_1 = 5 \) (длина вдоль оси Z)

Для прямоугольного параллелепипеда расстояние между противоположными вершинами (длина пространственной диагонали) находится по формуле:

\( d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \), где \( a, b, c \) — длины ребер.

В нашем случае, \( DB_1 \) — это пространственная диагональ.

\( DB_1 = \sqrt{DA^2 + DC^2 + DD_1^2} \)

\( DB_1 = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} \)

\( DB_1 = \sqrt{9 + 16 + 25} \)

\( DB_1 = \sqrt{50} \)

\( \sqrt{50} = \sqrt{25 2} = 5\sqrt{2} \).

Ответ: 5√2.