Центральный угол на 36° больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть \( \alpha \) — острый вписанный угол, опирающийся на дугу, а \( \beta \) — центральный угол, опирающийся на ту же дугу.

Известно, что центральный угол, опирающийся на дугу, в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу: \( \beta = 2\alpha \).

По условию, центральный угол на \( 36^{\circ} \) больше острого вписанного угла: \( \beta = \alpha + 36^{\circ} \).

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\( \begin{cases} \beta = 2\alpha \\ \beta = \alpha + 36^{\circ} \end{cases} \)

Приравняем правые части уравнений:

\( 2\alpha = \alpha + 36^{\circ} \)

\( 2\alpha - \alpha = 36^{\circ} \)

\( \alpha = 36^{\circ} \).

Таким образом, вписанный угол равен \( 36^{\circ} \).

Проверка: Центральный угол \( \beta = 2 \cdot 36^{\circ} = 72^{\circ} \). Разница между \( \beta \) и \( \alpha \) равна \( 72^{\circ} - 36^{\circ} = 36^{\circ} \), что соответствует условию.

Ответ: 36.