Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Так как \( AC = BC \), треугольник \( ABC \) является равнобедренным. Угол \( ACB \) — тупой, так как это тупоугольный треугольник.
Проведем высоту \( CH \) к основанию \( AB \). В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой.
Высота \( AH = 4 \).
В прямоугольном треугольнике \( ACH \) найдем \( CH \) по теореме Пифагора: \( AC^2 = AH^2 + CH^2 \).
\( (4\sqrt{5})^2 = 4^2 + CH^2 \)
\( 16 \cdot 5 = 16 + CH^2 \)
\( 80 = 16 + CH^2 \)
\( CH^2 = 80 - 16 = 64 \)
\( CH = \sqrt{64} = 8 \).
Теперь найдем основание \( AB \). Так как \( CH \) — медиана, то \( AB = 2 \cdot AH = 2 \cdot 4 = 8 \).
В треугольнике \( ABC \) мы знаем стороны: \( AC = 4\sqrt{5} \), \( BC = 4\sqrt{5} \), \( AB = 8 \).
Для нахождения \( \text{tg}(\angle ACB) \) можно использовать теорему косинусов, чтобы найти \( \cos(\angle ACB) \), а затем \( \text{tg}(\angle ACB) \). Однако, проще использовать площадь треугольника.
Площадь \( S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32 \).
Также площадь можно выразить как \( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin(\angle ACB) \).
\( 32 = \frac{1}{2} \cdot (4\sqrt{5}) \cdot (4\sqrt{5}) \cdot \sin(\angle ACB) \)
\( 32 = \frac{1}{2} \cdot 80 \cdot \sin(\angle ACB) \)
\( 32 = 40 \cdot \sin(\angle ACB) \)
\( \sin(\angle ACB) = \frac{32}{40} = \frac{4}{5} \).
Так как треугольник тупоугольный, угол \( ACB \) тупой, то \( \sin(\angle ACB) > 0 \). Для тупого угла \( \alpha \), \( \sin \alpha > 0 \) и \( \cos \alpha < 0 \).
Найдем \( \cos(\angle ACB) \) используя основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \).
\( \cos^2(\angle ACB) = 1 - \sin^2(\angle ACB) = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25-16}{25} = \frac{9}{25} \).
Так как \( \angle ACB \) — тупой, \( \cos(\angle ACB) = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5} \).
Теперь найдем \( \text{tg}(\angle ACB) \):
\( \text{tg}(\angle ACB) = \frac{\sin(\angle ACB)}{\cos(\angle ACB)} = \frac{4/5}{-3/5} = -\frac{4}{3} \).
Ответ: -4/3.
