Около окружности, радиус которой равен √8, описан квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Решение:

Пусть \( r \) — радиус вписанной окружности, \( R \) — радиус описанной окружности, \( a \) — сторона квадрата.

Дано: \( r = \sqrt{8} \).

Вписанная окружность касается сторон квадрата. Диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата: \( 2r = a \).

\( a = 2 \cdot \sqrt{8} = 2 \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \) см.

Описанная окружность проходит через вершины квадрата. Диаметр описанной окружности равен диагонали квадрата. Диагональ квадрата \( d \) находится по теореме Пифагора: \( d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \).

\( d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \).

Подставим значение стороны квадрата \( a \):

\( d = (4\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 4 \cdot 2 = 8 \) см.

Радиус описанной окружности равен половине диагонали: \( R = \frac{d}{2} \).

\( R = \frac{8}{2} = 4 \) см.

Ответ: 4.