207. Найдите сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии (аₙ), если а₇ + 13 = 21 и аз + 412-415 = = 3.

Для решения данной задачи необходимо воспользоваться свойствами арифметической прогрессии и формулой суммы n первых членов арифметической прогрессии:

$$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$$

1. Преобразуем первое уравнение, используя свойство $$a_n = a_1 + d(n-1)$$:
   • $$a_7 + a_{13} = 21$$
   • $$(a_1 + 6d) + (a_1 + 12d) = 21$$
   • $$2a_1 + 18d = 21$$
2. Преобразуем второе уравнение:
   • $$a_8 + a_{12} - a_{15} = 3$$
   • $$(a_1 + 7d) + (a_1 + 11d) - (a_1 + 14d) = 3$$
   • $$a_1 + 4d = 3$$
3. Решим систему уравнений:
   • $$\begin{cases} 2a_1 + 18d = 21 \\ a_1 + 4d = 3 \end{cases}$$
   • Выразим $$a_1$$ из второго уравнения:
     • $$a_1 = 3 - 4d$$
   • Подставим в первое уравнение:
     • $$2(3 - 4d) + 18d = 21$$
     • $$6 - 8d + 18d = 21$$
     • $$10d = 15$$
     • $$d = 1.5$$
4. Найдем $$a_1$$:
   • $$a_1 = 3 - 4(1.5) = 3 - 6 = -3$$
5. Найдем сумму двадцати первых членов:
   • $$S_{20} = \frac{2a_1 + d(20-1)}{2} \cdot 20 = \frac{2(-3) + 1.5(19)}{2} \cdot 20 = \frac{-6 + 28.5}{2} \cdot 20 = \frac{22.5}{2} \cdot 20 = 22.5 \cdot 10 = 225$$

Ответ: 225