205. Найдите сумму десяти первых членов арифметической прогрессии (аₙ), если: 1) q = 6, 413 = 42; 2) a = 45, 414 = -43.

Для нахождения суммы десяти первых членов арифметической прогрессии воспользуемся формулой суммы n первых членов арифметической прогрессии:

$$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$$

Или, если известен первый и последний члены:

$$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$$

1. Рассмотрим случай 1: $$a_1 = 6$$, $$a_{13} = 42$$
   • Найдем разность арифметической прогрессии:
     • Используем формулу $$a_n = a_1 + d(n-1)$$ для $$a_{13}$$:
       • $$42 = 6 + d(13-1)$$
       • $$42 = 6 + 12d$$
       • $$36 = 12d$$
       • $$d = 3$$
   • Найдем десятый член прогрессии:
     • $$a_{10} = a_1 + d(10-1) = 6 + 3(9) = 6 + 27 = 33$$
   • Найдем сумму десяти первых членов:
     • $$S_{10} = \frac{a_1 + a_{10}}{2} \cdot 10 = \frac{6 + 33}{2} \cdot 10 = \frac{39}{2} \cdot 10 = 39 \cdot 5 = 195$$
2. Рассмотрим случай 2: $$a_6 = 45$$, $$a_{14} = -43$$
   • Найдем разность арифметической прогрессии:
     • $$a_{14} = a_6 + d(14-6)$$
     • $$-43 = 45 + 8d$$
     • $$-88 = 8d$$
     • $$d = -11$$
3. Найдем первый член прогрессии:
   • $$a_6 = a_1 + d(6-1)$$
   • $$45 = a_1 + (-11)(5)$$
   • $$45 = a_1 - 55$$
   • $$a_1 = 100$$
4. Найдем десятый член прогрессии:
   • $$a_{10} = a_1 + d(10-1) = 100 + (-11)(9) = 100 - 99 = 1$$
5. Найдем сумму десяти первых членов:
   • $$S_{10} = \frac{a_1 + a_{10}}{2} \cdot 10 = \frac{100 + 1}{2} \cdot 10 = \frac{101}{2} \cdot 10 = 101 \cdot 5 = 505$$

Ответ: 1) 195, 2) 505