9. Найдите сторону равностороннего треугольника, если его высота равна 9 см.

9. Высота равностороннего треугольника $$h = 9$$ см. Нужно найти сторону $$a$$.

В равностороннем треугольнике высота является также медианой и биссектрисой.

Высота делит треугольник на два прямоугольных треугольника с гипотенузой $$a$$ и катетами $$h$$ и $$a/2$$.

По теореме Пифагора:

$$h^2 + (a/2)^2 = a^2$$

$$9^2 + \frac{a^2}{4} = a^2$$

$$81 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3}{4}a^2$$

$$a^2 = \frac{81 \cdot 4}{3} = 27 \cdot 4 = 108$$

$$a = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$$

Сторона равностороннего треугольника равна $$6\sqrt{3}$$ см.

Ответ: $$6\sqrt{3}$$ см