Найдите сумму всех трехзначных натуральных чисел, не превосходящих 450, каждое из которых при делении на 19 дает в остатке 7.

Натуральные числа, которые при делении на 19 дают в остатке 7, имеют вид: $$19k + 7$$, где k - целое число.

Найдем наименьшее трехзначное число:

$$19k + 7 \ge 100$$.

$$19k \ge 93$$.

$$k \ge \frac{93}{19} \approx 4.89$$.

Наименьшее целое значение k: $$k = 5$$.

Тогда, наименьшее трехзначное число: $$19 \cdot 5 + 7 = 95 + 7 = 102$$.

Найдем наибольшее трехзначное число, не превосходящее 450:

$$19k + 7 \le 450$$.

$$19k \le 443$$.

$$k \le \frac{443}{19} \approx 23.32$$.

Наибольшее целое значение k: $$k = 23$$.

Тогда, наибольшее трехзначное число: $$19 \cdot 23 + 7 = 437 + 7 = 444$$.

Получаем арифметическую прогрессию: 102, ..., 444.

$$a_1 = 102, a_n = 444$$.

Разность арифметической прогрессии: $$d = 19$$.

$$a_n = a_1 + d(n-1)$$.

$$444 = 102 + 19(n-1)$$.

$$342 = 19(n-1)$$.

$$n-1 = \frac{342}{19} = 18$$.

$$n = 19$$.

Сумма арифметической прогрессии:

$$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$$.

$$S_{19} = \frac{102 + 444}{2} \cdot 19 = \frac{546}{2} \cdot 19 = 273 \cdot 19 = 5187$$.

Ответ: 5187