В ромб вписана окружность. Сторона ромба точкой касания делится на отрезки, длины которых равны 4 и 16. Найдите площадь ромба.

Пусть ромб ABCD, окружность касается стороны AB в точке K, AK = 4, KB = 16. Тогда сторона ромба a = AK + KB = 4 + 16 = 20.

Высота ромба равна диаметру вписанной окружности, которую можно найти из прямоугольного треугольника, образованного высотой, боковой стороной и проекцией боковой стороны на основание.

Пусть h - высота ромба. Высота, проведенная из вершины B на сторону AD (высота ромба), делит сторону AD на отрезки 4 и 16.

Тогда, высота ромба $$h=\sqrt{4 \cdot 16} = \sqrt{64} = 8$$.

Площадь ромба равна: $$S = a \cdot h = 20 \cdot 8 = 160$$.

Ответ: 160