Стаканчик для мороженого в форме конуса имеет глубину 12 см и диаметр верхней части 5 см. На него сверху положили один шарик мороженого диаметром 5 см. На какой высоте h (в сантиметрах) окажется мороженое, когда растает? В ответ запишите значение выражения h³. Считайте, что при таянии все мороженое стекает в конус и объем его не изменяется.

Объем конуса: $$V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi R^2 H$$.

Радиус конуса: $$R = \frac{5}{2} = 2.5 \text{ см}$$.

Высота конуса: $$H = 12 \text{ см}$$.

Объем конуса: $$V_{конуса} = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (2.5)^2 \cdot 12 = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 6.25 \cdot 12 = \pi \cdot 6.25 \cdot 4 = 25 \pi \text{ см}^3$$.

Объем шарика: $$V_{шара} = \frac{4}{3} \pi r^3$$.

Радиус шарика: $$r = \frac{5}{2} = 2.5 \text{ см}$$.

Объем шарика: $$V_{шара} = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot (2.5)^3 = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 15.625 = \frac{62.5}{3} \pi \text{ см}^3$$.

Суммарный объем: $$V = V_{конуса} + V_{шара} = 25 \pi + \frac{62.5}{3} \pi = \pi (25 + \frac{62.5}{3}) = \pi (\frac{75 + 62.5}{3}) = \frac{137.5}{3} \pi \text{ см}^3$$.

Пусть $$h$$ - высота конуса с суммарным объемом.

Тогда, $$\frac{r}{h} = \frac{R}{H} \Rightarrow r = \frac{Rh}{H} = \frac{2.5h}{12} = \frac{5h}{24}$$.

$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (\frac{5h}{24})^2 h = \frac{1}{3} \pi \frac{25h^3}{576} = \frac{25 \pi h^3}{1728}$$.

Приравняем объемы:

$$\frac{137.5}{3} \pi = \frac{25 \pi h^3}{1728}$$.

$$\frac{137.5}{3} = \frac{25h^3}{1728}$$.

$$h^3 = \frac{137.5 \cdot 1728}{3 \cdot 25} = \frac{137.5 \cdot 576}{25} = 5.5 \cdot 576 = 3168$$.

$$h^3 = 3168$$

Ответ: 3168