Пусть (х₁; у₁) и (х₂; у₂) решения системы уравнений {x-y=2, x²+y²=34, тогда значение выражения х₁х₂ + у₁у₂ равно ....

Решим систему уравнений $$\begin{cases} x-y=2 \\ x^2+y^2=34 \end{cases}$$

Выразим x из первого уравнения: $$x = y+2$$.

Подставим во второе уравнение: $$(y+2)^2 + y^2 = 34$$

$$y^2 + 4y + 4 + y^2 = 34$$

$$2y^2 + 4y - 30 = 0$$

$$y^2 + 2y - 15 = 0$$

Решим квадратное уравнение: $$y^2 + 2y - 15 = 0$$

$$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$$

$$y_1 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

$$y_2 = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$

Найдем x:

$$x_1 = y_1 + 2 = 3 + 2 = 5$$

$$x_2 = y_2 + 2 = -5 + 2 = -3$$

Получаем два решения: (5; 3) и (-3; -5).

$$x_1x_2 + y_1y_2 = 5 \cdot (-3) + 3 \cdot (-5) = -15 - 15 = -30$$

Ответ: -30