Вычислите log√(√7+1) (8 + 2√7) +log² 3√4+6log³√49 −log₅ 125 (23)2

Вычислим выражение $$\log_{\sqrt{\sqrt{7}+1}}(8+2\sqrt{7}) + \log_{\frac{1}{2}}^2 \sqrt[3]{4} + 6^{\log_{3} \sqrt{49}} - \log_5^{\frac{1}{25}} (\frac{2}{3})^2$$.

Преобразуем каждое слагаемое:

$$8+2\sqrt{7} = (\sqrt{7})^2 + 2 \cdot \sqrt{7} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{7}+1)^2$$.

Тогда, $$\log_{\sqrt{\sqrt{7}+1}}(8+2\sqrt{7}) = \log_{\sqrt{\sqrt{7}+1}}((\sqrt{7}+1)^2) = \log_{(\sqrt{7}+1)^{\frac{1}{2}}}((\sqrt{7}+1)^2) = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4$$.

$$\log_{\frac{1}{2}}^2 \sqrt[3]{4} = (\log_{2^{-1}} 4^{\frac{1}{3}})^2 = (\log_{2^{-1}} (2^2)^{\frac{1}{3}})^2 = (\log_{2^{-1}} 2^{\frac{2}{3}})^2 = (\frac{\frac{2}{3}}{-1})^2 = (-\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$$.

$$6^{\log_{3} \sqrt{49}} = 6^{\log_{3} 7}$$.

Представим 6 как $$2 \cdot 3$$. Тогда, $$6^{\log_{3} 7} = (2 \cdot 3)^{\log_{3} 7} = 2^{\log_{3} 7} \cdot 3^{\log_{3} 7} = 2^{\log_{3} 7} \cdot 7 = 7 \cdot 2^{\log_{3} 7}$$.

$$-\log_5^{\frac{1}{25}} (\frac{2}{3})^2 = -\log_5 5^{-2} (\frac{4}{9}) = -(-\frac{1}{2}) \log_5 (\frac{4}{9}) = \frac{1}{2} \log_5 (\frac{4}{9}) \approx -0.32$$.

Исходное выражение примерно равно: $$4 + \frac{4}{9} + 7 \cdot 2^{\log_{3} 7} - 0.32$$

При упрощении получается: $$4+\frac{4}{9}+49 - \frac{4}{2}*\frac{1}{2} = 4 + \frac{4}{9} + 49 -2 = 51 \frac{4}{9}$$.

Ответ: 51 4/9