Найдите точку максимума функции \( y = 2x^3 - 24x \).

Решение:

Чтобы найти точку максимума функции, нужно найти производную функции и приравнять её к нулю.

1. Найдём производную функции \( y = 2x^3 - 24x \):

\( y' = (2x^3 - 24x)' = 6x^2 - 24 \)

2. Приравняем производную к нулю и найдём критические точки:

\( 6x^2 - 24 = 0 \)

\( 6x^2 = 24 \)

\( x^2 = 4 \)

\( x = \pm 2 \).

3. Определим, является ли найденная точка точкой максимума, используя вторую производную.

Найдём вторую производную:

\( y'' = (6x^2 - 24)' = 12x \)

Проверим знак второй производной в критических точках:

При \( x = -2 \): \( y''(-2) = 12(-2) = -24 \). Так как \( y''(-2) < 0 \), то в точке \( x = -2 \) — максимум.

При \( x = 2 \): \( y''(2) = 12(2) = 24 \). Так как \( y''(2) > 0 \), то в точке \( x = 2 \) — минимум.

4. Найдём значение функции в точке максимума:

\( y(-2) = 2(-2)^3 - 24(-2) = 2(-8) + 48 = -16 + 48 = 32 \)

Ответ: Точка максимума \( (-2, 32) \).