Найдите точку минимума функции \( y = 2x^3 - 6x^2 \).

Решение:

Чтобы найти точку минимума функции, нужно найти производную функции и приравнять её к нулю.

1. Найдём производную функции \( y = 2x^3 - 6x^2 \):

\( y' = (2x^3 - 6x^2)' = 6x^2 - 12x \)

2. Приравняем производную к нулю и найдём критические точки:

\( 6x^2 - 12x = 0 \)

\( 6x(x - 2) = 0 \)

\( x_1 = 0 \) или \( x_2 = 2 \).

3. Определим, является ли найденная точка точкой минимума, используя вторую производную.

Найдём вторую производную:

\( y'' = (6x^2 - 12x)' = 12x - 12 \)

Проверим знак второй производной в критических точках:

При \( x = 0 \): \( y''(0) = 12(0) - 12 = -12 \). Так как \( y''(0) < 0 \), то в точке \( x = 0 \) — максимум.

При \( x = 2 \): \( y''(2) = 12(2) - 12 = 24 - 12 = 12 \). Так как \( y''(2) > 0 \), то в точке \( x = 2 \) — минимум.

4. Найдём значение функции в точке минимума:

\( y(2) = 2(2)^3 - 6(2)^2 = 2(8) - 6(4) = 16 - 24 = -8 \)

Ответ: Точка минимума \( (2, -8) \).