Найти площадь треугольника ABC (11): окружность вписана в ABC и касается AC в D и сторон AB, BC в M, K; AD = 12, DC = 14, периметр ABC равен 84.

Касательные, проведённые из одной точки к окружности, равны: \(AM=AD=12\), \(CK=CD=14\). Обозначим \(BM=BK=x\).

Тогда стороны равны \(AB=12+x\), \(BC=14+x\), \(AC=12+14=26\). По условию периметр равен 84: \(52+2x=84\), откуда \(x=16\). Значит, стороны треугольника — 28, 30 и 26, а полупериметр — 42.

По формуле Герона: \(S_{ABC}=\sqrt{42(42-28)(42-30)(42-26)}=\sqrt{42\cdot14\cdot12\cdot16}=336\).

Ответ: 336.