Найти площадь треугольника ABC (9): ∠ACB = 90°, ∠A = 30°; вписанная окружность касается AC в точке, обозначенной на рисунке, и её радиус равен 3.

В прямоугольном треугольнике с углом 30° стороны относятся как \(x:x\sqrt3:2x\), где x — катет напротив угла 30°. Радиус вписанной окружности равен \(r=\frac{x+x\sqrt3-2x}{2}=\frac{x(\sqrt3-1)}2\).

Подставим \(r=3\): \(x=\frac6{\sqrt3-1}=3(\sqrt3+1)\). Второй катет равен \(x\sqrt3=3(3+\sqrt3)\).

Тогда \(S_{ABC}=\frac12 x\cdot x\sqrt3=27+18\sqrt3\).

Ответ: \(27+18\sqrt3\).