Найти площадь треугольника ABC (12): окружность с центром O и радиусом 24 вписана в ABC; ∠A = ∠C; на стороне BC точка E, BE = 9x, EC = 8x.

Обозначим длины касательных из A к окружности через y. По свойству касательных из одной точки длины касательных из B равны, а из C равны. Поэтому \(AB=y+9x\), \(BC=9x+8x=17x\), \(AC=y+8x\).

Из \(\angle A=\angle C\) следует \(BC=AB\). Значит, \(y+9x=17x\), откуда \(y=8x\). Тогда стороны равны 17x, 17x и 16x, а полупериметр равен 25x.

Площадь треугольника с вписанной окружностью равна \(S=rs\), где r — радиус, s — полупериметр. По формуле Герона для сторон 17x, 17x и 16x также получаем \(S=\sqrt{25x\cdot8x\cdot8x\cdot9x}=120x^2\). Следовательно, \(120x^2=24\cdot25x\), откуда \(x=5\). Тогда \(S=24\cdot25\cdot5=3000\).

Ответ: 3000.