25. Основание АС равнобедренного треугольника АВС равно 12. Окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания АС в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.

Пусть ABC - равнобедренный треугольник, AC = 12. Пусть O - центр окружности радиуса 8, касающейся продолжений боковых сторон AB и BC и основания AC в точке D, которая является серединой AC. OD - радиус, перпендикулярный AC, OD = 8. Пусть r - радиус вписанной окружности в треугольник ABC. AD = DC = 6. $$\triangle ODC$$ - прямоугольный. $$OC = \sqrt{OD^2 + DC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$$. Пусть BH - высота треугольника ABC, проведенная к основанию AC. Так как треугольник равнобедренный, то BH - также медиана, и H - середина AC. Значит, H совпадает с D, и BH - высота. Следовательно, центр O лежит на продолжении высоты BH. Пусть $$r$$ - радиус вписанной окружности, $$S$$ - площадь треугольника ABC, $$p$$ - полупериметр треугольника ABC. $$S = pr$$, $$S = \frac{1}{2}AC \cdot BH$$ Рассмотрим подобные треугольники CDO и CBH. $$\frac{DO}{BH} = \frac{CD}{BC}$$. $$\frac{8}{BH} = \frac{6}{BC}$$ или $$BH = \frac{8}{6}BC = \frac{4}{3}BC$$ $$\triangle BHC$$ - прямоугольный. $$BC^2 = BH^2 + HC^2$$. $$BC^2 = (\frac{4}{3}BC)^2 + 6^2$$. $$BC^2 = \frac{16}{9}BC^2 + 36$$. $$9BC^2 = 16BC^2 + 324$$. $$-7BC^2 = 324$$. Это невозможно. Проверьте условие. Ответ: нет данных