23. Прямая, параллельная основаниям МР и NK трапеции МИКР, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает её боковые стороны М№ и КР в точках А и В соответственно. Найдите длину отрезка АВ, если MP= 24, NK= 16.

Пусть O - точка пересечения диагоналей MP и NK трапеции MNKP. Прямая AB проходит через точку O и параллельна основаниям MP и NK. Так как AB || MP || NK, то $$\triangle AON \sim \triangle MPN$$ и $$\triangle KBO \sim \triangle KPM$$. Подобие треугольников позволяет записать отношения сторон: $$\frac{AO}{MP} = \frac{NO}{NP}$$ и $$\frac{BO}{MP} = \frac{KO}{KM}$$. Так как O - точка пересечения диагоналей трапеции, то $$\frac{NO}{OP} = \frac{NK}{MP}$$. Тогда $$\frac{NO}{NP} = \frac{NO}{NO + OP} = \frac{NK}{NK + MP} = \frac{16}{16 + 24} = \frac{16}{40} = \frac{2}{5}$$. Значит, $$AO = MP \cdot \frac{2}{5} = 24 \cdot \frac{2}{5} = \frac{48}{5}$$. Аналогично, $$\frac{KO}{OM} = \frac{NK}{MP}$$, то есть $$\frac{KO}{KM} = \frac{KO}{KO + OM} = \frac{NK}{NK + MP} = \frac{16}{16 + 24} = \frac{16}{40} = \frac{2}{5}$$. Тогда $$BO = MP \cdot \frac{2}{5} = 24 \cdot \frac{2}{5} = \frac{48}{5}$$. Тогда $$AB = AO + BO = \frac{48}{5} + \frac{48}{5} = \frac{96}{5} = 19.2$$. Ответ: 19.2