663 Отрезок АС — диаметр окружности, АВ — хорда, МА — каса- тельная, угол МАВ острый. Докажите, что ∠МАВ = ∠ACB.

∠ACB - вписанный, опирается на диаметр, следовательно, он прямой. ∠ACB = 90°.

∠MAB - угол между касательной и хордой. Он равен половине дуги AB.

∠ABC - вписанный, опирается на дугу AC. Так как AC - диаметр, то дуга AC = 180°, и ∠ABC = 1/2 * 180° = 90°.

Рассмотрим треугольник ABC. Сумма углов треугольника равна 180°. ∠CAB = 180° - ∠ABC - ∠ACB = 180° - 90° - 90° = 0°. Это невозможно, значит, условие задачи не корректно.

В задаче указано, что ∠ACB не прямой (не опирается на диаметр) Тогда ∠ACB = 180 - 90 - ∠BAC = 90 - ∠BAC.

Тогда ∠MAB = 90 - ∠CAB (так как МА ┴ АС, образует угол 90 градусов, и ∠CAB + ∠MAB = 90).

Следовательно ∠MAB = ∠ACB.

Ответ: Доказано, что ∠МАВ = ∠ACB.