Прямая АМ - касательная к окружности, АВ - хорда этой окружности. Докажите, что угол МАВ измеряется половиной

Протокол:

Воспользуемся теоремой об угле между касательной и хордой.

Доказательство:

Пусть дана окружность с касательной AM и хордой AB.

Требуется доказать, что угол MAB измеряется половиной дуги AB.

Доказательство:

1. Проведем диаметр AC окружности.
2. Рассмотрим угол CAB. Угол CAB - прямой, так как опирается на диаметр.
3. Угол MAB = угол MAC - угол BAC = 90° - угол BAC.
4. Угол ACB опирается на дугу AB и является вписанным. Следовательно, угол ACB равен половине дуги AB.
5. Сумма углов треугольника ABC равна 180°. Следовательно, угол BAC = 90° - угол ACB.
6. Угол MAB = 90° - (90° - угол ACB) = угол ACB.
7. Так как угол ACB равен половине дуги AB, то и угол MAB равен половине дуги AB.

Что и требовалось доказать.