22. Постройте график функции y = x²-8x-4|x-3|+15 и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение: Разберем функцию по частям: 1) Если x >= 3: y = x² - 8x - 4(x-3) + 15 = x² - 8x - 4x + 12 + 15 = x² - 12x + 27 = (x-6)² - 9 2) Если x < 3: y = x² - 8x - 4(3-x) + 15 = x² - 8x - 12 + 4x + 15 = x² - 4x + 3 = (x-2)² - 1 Таким образом, у нас кусочно-заданная функция: y = {(x-6)² - 9, если x >= 3 {(x-2)² - 1, если x < 3 График данной функции состоит из двух парабол. Вершина первой параболы (x >= 3) находится в точке (6, -9), а вершина второй параболы (x < 3) находится в точке (2, -1). Прямая y = m будет иметь с графиком ровно три общие точки, когда она проходит через вершину одной из парабол, и пересекает другую параболу в двух точках. Либо когда в точке соединения графиков производная функции терпит разрыв. Рассмотрим первую параболу y = (x-6)² - 9, x >= 3: в точке x = 3, y = (3-6)² - 9 = 9 - 9 = 0 Рассмотрим вторую параболу y = (x-2)² - 1, x < 3: в точке x = 3, y = (3-2)² - 1 = 1 - 1 = 0 В точке x = 3 графики соединяются, и значение функции равно 0. Таким образом, y = 0 - это одна из линий, при которой выполняется условие. Вторая линия - линия, проходящая через вершину первой параболы (6,-9), то есть y = -9. Также линия, проходящая через вершину второй параболы (2,-1), то есть y = -1. Таким образом, m = 0, m = -1 и m = -9. Ответ: -9, -1, 0.