16. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен (10sqrt{2}). Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

Решение: 1. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине диагонали квадрата. Если R - радиус описанной окружности, а d - диагональ квадрата, то (R = rac{d}{2}). 2. Диагональ квадрата равна (d = 2R = 2 cdot 10sqrt{2} = 20sqrt{2}). 3. Пусть a - сторона квадрата. Тогда по теореме Пифагора (a^2 + a^2 = d^2), (2a^2 = (20sqrt{2})^2), (2a^2 = 800), (a^2 = 400), (a = 20). 4. Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине стороны квадрата. Если r - радиус вписанной окружности, то (r = rac{a}{2}). 5. Подставляем значение стороны квадрата: (r = rac{20}{2} = 10). Ответ: 10