3. Преобразуйте выражение: a) (²/₃ x⁻⁴y⁻²)⁻²; б) (5x⁻² 6y⁻¹)⁻² · 10x³y⁴.

a) $$\left(\frac{2}{3}x^{-4}y^{-2}\right)^{-2}$$

Используем свойство степени: $$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$$ и $$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n}$$

$$\left(\frac{2}{3}x^{-4}y^{-2}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}x^{4}y^{2}\right)^{2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 \cdot (x^{4})^2 \cdot (y^{2})^2 = \frac{9}{4}x^8y^4$$

Ответ: $$\frac{9}{4}x^8y^4$$

б) $$\left(\frac{5x^{-2}}{6y^{-1}}\right)^{-2} \cdot 10x^3y^4$$

Сначала упростим выражение в скобках, используя свойство степеней: $$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n}$$

$$\left(\frac{5x^{-2}}{6y^{-1}}\right)^{-2} = \left(\frac{6y^{-1}}{5x^{-2}}\right)^{2} = \frac{(6y^{-1})^2}{(5x^{-2})^2}$$

Теперь применим свойство степени: $$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$$ и $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$

$$\frac{(6y^{-1})^2}{(5x^{-2})^2} = \frac{6^2 \cdot y^{-1\cdot2}}{5^2 \cdot x^{-2\cdot2}} = \frac{36y^{-2}}{25x^{-4}} = \frac{36x^4}{25y^2}$$

Теперь умножим это выражение на $$10x^3y^4$$

$$\frac{36x^4}{25y^2} \cdot 10x^3y^4 = \frac{36 \cdot 10 \cdot x^4 \cdot x^3 \cdot y^4}{25 \cdot y^2} = \frac{360x^{4+3}y^4}{25y^2} = \frac{360x^{7}y^4}{25y^2}$$

Используем свойство степеней: $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$

$$\frac{360x^{7}y^4}{25y^2} = \frac{360x^{7}y^{4-2}}{25} = \frac{360x^{7}y^{2}}{25} = \frac{72x^{7}y^{2}}{5}$$

Ответ: $$\frac{72x^{7}y^{2}}{5}$$