3. Преобразуйте выражение: a) (1/₆ x⁻⁴y³)⁻¹; б) (3a⁻² 2b⁻³)⁻² · 10a⁷b³.

a) $$\left(\frac{1}{6}x^{-4}y^3\right)^{-1}$$

Используем свойство степени: $$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$$ и $$\left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a}$$

$$\left(\frac{1}{6}x^{-4}y^3\right)^{-1} = \frac{1}{\frac{1}{6}x^{-4}y^3} = 6x^4y^{-3} = \frac{6x^4}{y^3}$$

Ответ: $$\frac{6x^4}{y^3}$$

б) $$\left(\frac{3a^{-4}}{2b^{-3}}\right)^{-2} \cdot 10a^7b^3$$

Сначала упростим выражение в скобках, используя свойство степеней: $$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n}$$

$$\left(\frac{3a^{-4}}{2b^{-3}}\right)^{-2} = \left(\frac{2b^{-3}}{3a^{-4}}\right)^{2} = \frac{(2b^{-3})^2}{(3a^{-4})^2}$$

Теперь применим свойство степени: $$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$$ и $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$

$$\frac{(2b^{-3})^2}{(3a^{-4})^2} = \frac{2^2 \cdot b^{-3\cdot2}}{3^2 \cdot a^{-4\cdot2}} = \frac{4b^{-6}}{9a^{-8}} = \frac{4a^8}{9b^6}$$

Теперь умножим это выражение на $$10a^7b^3$$

$$\frac{4a^8}{9b^6} \cdot 10a^7b^3 = \frac{4 \cdot 10 \cdot a^8 \cdot a^7 \cdot b^3}{9 \cdot b^6} = \frac{40a^{8+7}b^3}{9b^6} = \frac{40a^{15}b^3}{9b^6}$$

Используем свойство степеней: $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$

$$\frac{40a^{15}b^3}{9b^6} = \frac{40a^{15}}{9b^{6-3}} = \frac{40a^{15}}{9b^3}$$

Ответ: $$\frac{40a^{15}}{9b^3}$$