r) y = x²/2 + 3/x³ + 1.

Для нахождения производной функции y = x²/2 + 3/x³ + 1 необходимо применить правило дифференцирования суммы функций и правило дифференцирования степенной функции.

1. Правило дифференцирования суммы функций: (u + v)' = u' + v'

2. Правило дифференцирования степенной функции: (xⁿ)' = n * x^n-1

3. Производная константы: (c)' = 0, где c - константа

Преобразуем функцию y = (1/2)x² + 3x^-3 + 1

Применим эти правила к нашей функции:

y' = ((1/2)x²)' + (3x^-3)' + (1)' = 1/2 * 2 * x^2-1 + 3 * (-3) * x^-3-1 + 0 = x - 9x^-4 = x - 9/x⁴

Таким образом, производная функции y = x²/2 + 3/x³ + 1 равна x - 9/x⁴.

Ответ: x - 9/x⁴