Река _____________________ течёт через Серпухов, Коломну, Муром и впадает в Волгу.

Приложение - это определение, выраженное именем существительным, согласованным с определяемым словом в падеже. Приложение может конкретизировать или уточнять определяемое слово, давать ему другое название или характеристику.

В данном случае необходимо добавить приложение, указывающее на название реки.

Река Ока течёт через Серпухов, Коломну, Муром и впадает в Волгу.

Ответ: Река Ока течёт через Серпухов, Коломну, Муром и впадает в Волгу.