4. Решить тригонометрические уравнения: 2) 3sin²x - 7sin x + 4 = 0

Решим тригонометрическое уравнение:

$$3\sin^2{x} - 7\sin{x} + 4 = 0$$

Пусть $$t = \sin{x}$$, тогда уравнение примет вид:

$$3t^2 - 7t + 4 = 0$$

Найдем корни квадратного уравнения:

$$D = (-7)^2 - 4(3)(4) = 49 - 48 = 1$$

$$t_1 = \frac{7 + \sqrt{1}}{6} = \frac{7 + 1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$$

$$t_2 = \frac{7 - \sqrt{1}}{6} = \frac{7 - 1}{6} = \frac{6}{6} = 1$$

Вернемся к замене:

$$\sin{x} = \frac{4}{3}$$ - не имеет решений, так как $$-1 \le \sin{x} \le 1$$

$$\sin{x} = 1$$

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Ответ: $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$