11. Решите уравнение x⁴ + 2x² − 8 = 0.

Введем новую переменную: $$t = x^2$$, тогда уравнение примет вид:

$$t^2 + 2t - 8 = 0$$

Вычислим дискриминант по формуле $$D = b^2 - 4ac$$:

$$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$$

Так как D > 0, уравнение имеет два корня. Найдем их по формулам:

$$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$$

$$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$$

Тогда:

$$t_1 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

$$t_2 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$

Вернемся к замене переменной:

1) $$x^2 = 2$$

$$x = \pm \sqrt{2}$$

$$x_1 = \sqrt{2}, x_2 = -\sqrt{2}$$

2) $$x^2 = -4$$

Так как квадрат числа не может быть отрицательным, то уравнение не имеет решений.

Ответ: $$\sqrt{2}; -\sqrt{2}$$