13. Решите уравнение (x − 3)⁴ − 3(x − 3)² − 10 = 0.

Введем новую переменную: $$t = (x - 3)^2$$, тогда уравнение примет вид:

$$t^2 - 3t - 10 = 0$$

Вычислим дискриминант по формуле $$D = b^2 - 4ac$$:

$$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$$

Так как D > 0, уравнение имеет два корня. Найдем их по формулам:

$$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$$

$$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$$

Тогда:

$$t_1 = \frac{3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

$$t_2 = \frac{3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

Вернемся к замене переменной:

1) $$(x - 3)^2 = 5$$

$$x - 3 = \pm \sqrt{5}$$

$$x = 3 \pm \sqrt{5}$$

$$x_1 = 3 + \sqrt{5}$$

$$x_2 = 3 - \sqrt{5}$$

2) $$(x - 3)^2 = -2$$

Так как квадрат числа не может быть отрицательным, то уравнение не имеет решений.

Ответ: $$3 + \sqrt{5}; 3 - \sqrt{5}$$